Введение
Современная теория движения жидкостей в микроскопических каналах, щелях и трубах базируется преимущественно на эмпирических зависимостях. Вязкость жидкости по аналогии с газом следует считать свойством молекулярного порядка. В этом случае должна существовать тесная связь между вязкостью и молекулярной структурой, а также составом жидкости. Установление такой связи особенно важно для прогноза свойств жидких смесей, например, нефтей или полимерных растворов.
Молекулярная физика определяет вязкость как способность переноса импульса молекул поперек направления движения [1]. Вязкость газа целиком обусловлена тепловым движением молекул и описывается выражением Максвелла:
µ=ρ<V> (<λ>)/3 (1)
где µ – динамическая вязкость,
ρ – плотность,
<V> – средняя скорость теплового движения молекул,
<λ> – средняя длина свободного пробега.
Динамическая вязкость газа закономерно увеличивается с температурой, тогда как для жидкости в результате эксперимента получена убывающая зависимость, что пока не имеет теоретического объяснения. В настоящей работе сделана попытка выявления природы вязкости на базе кластерной модели строения жидкости [2,3].
Описание модели
Представим поступательное движение жидкости как движение слоев молекулярных агрегатов (кластеров) состоящих из сотен или тысяч молекул (рис.1). Если средний диаметр кластеров D и среднее расстояние между ними λ, то при достаточно плотной упаковке кластеров можно принять расстояние между слоями равным (D+λ)/2.
Рис.1. Модель движения кластерной жидкости
Естественно, жидкость состоит не только из кластеров. В ней существует также большое количество мономолекул, димеров и других форм, определяющих, в частности, равновесное давление ее паров. Примем, что основная масса жидкости заключена в кластерах, плотность которых близка к плотности твердого тела. Поэтому такие свойства, как сжимаемость и вязкость должны определяться характеристиками кластеров.
Пусть скорость нижнего слоя U, верхнего U+ΔU. Пренебрегая относительным движением слоев, определим поток импульса в единицу времени через площадку 1м2, т.е. напряжение сдвига:
τ₁=nMΔUν/2 (2)
где n – число кластеров в слое площадью 1 м2,
М – масса кластера,
ν – частота соударений кластеров в одном направлении оси Х.
За счет относительного движения слоев в более быстром слое за единицу времени кластеров проходит больше на величину:
Δn=nΔU/(D+λ) (3)
Дополнительный поток импульса за счет относительного движения кластеров составит:
τ₂=nMΔU²/(D+λ) (4)
Если предположить для кластеров наиболее плотную упаковку с координационным числом 12, можно ввести в формулы (2) и (4) плотность жидкости:
ρ=2nM/(D+λ) (5)
Тогда суммарное напряжение сдвига:
τ=ρ(ν(D+λ))/4 ΔU+ρ ((ΔU)²)/2 (6)
Выражаем частоту соударений через среднюю скорость теплового движения:
ν=(<V>)/λ (7)
Принимаем расстояние между слоями dx и, переходя от приращений к дифференциалам, получаем:
τ=ρ (<V>(D+λ)²)/8λ du/dx+ρ (D+λ)^2/8(du/( dx ))² (8)
Выражение (8) представляет собой хорошо известный частный случай уравнения Стокса. При не слишком больших ΔU (ламинарное течение) вторым слагаемым можно пренебречь, а коэффициент при первом члене равен динамической вязкости. Кроме того:
(<V>(D+λ))/2λ=c (9)
где с – скорость звука в жидкости.
С учетом (9) для динамической вязкости µ получаем выражение:
µ=(ρc (D+λ))/4 (10)
Отметим, что формула (10) практически совпадает с выражением Максвелла для газов поскольку диаметром молекулы газа можно пренебречь, а величины с и <V>, λ и <λ> взаимосвязаны.
Параметр (D+λ) в рассмотренной модели характеризует ассоциацию молекул в жидкости и способность их передавать импульс, как единое целое. Представляет интерес оценка его для различных жидкостей в широком интервале температур по известным справочными данным вязкости, плотности и скорости звука. Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Таблица 1. Рассчитанные параметры некоторых жидких газов и жидкостей
Обсуждение результатов
Приближенные расчеты показывают, что кластеры жидких газов состоят из 10…100 молекул, несколько больше ассоциирован бензол, а для значительно ассоциированных жидкостей (воды, спиртов) число молекул в кластерах имеет порядок 103…104. Для всех жидкостей убывающая зависимость вязкости от температуры легко объясняется: с ростом температуры существенно уменьшается размер кластеров.
Особый интерес представляют расчеты, выполненные для жидкого гелия и ртути. Характерный параметр D+λ этих жидкостей оказался весьма близким к диаметрам атомов, соответственно равным 2,44 и 3,1 м-10. Получается, что жидкое состояние ртути мало связано с ассоциацией ее атомов и объясняется их высокой массой, затрудняющей переход в газообразное состояние. С указанных позиций становится понятной аномально низкая кинематическая вязкость ртути (на порядок ниже, чем всех других жидкостей, за исключением жидкого гелия).
Размер кластеров жидкого гелия (см. табл.1) уменьшается с приближением температуры к абсолютному нулю, причем в точке λ-перехода он всего на 15,2% отличается от диаметра атома. Это вполне согласуется с квантовой концепцией сверхтекучести гелия, как сжиженного газа с ничтожным межмолекулярным взаимодействием. При температурах ниже λ-перехода тепловое движение практически отсутствует, а при этом теряет смысл и понятие вязкости в рамках кластерной модели.
Вернемся к выражениям (9) и (10). Чтобы определить расстояние между кластерами λ, следует условно принять шар как форму кластеров, выразить скорость их движения из распределения Максвелла [1]:
<V>=√(8RT/πM) (11)
M=(πDᶾρₖ)/4 (12)
где M, D – масса и диаметр кластера,
R – постоянная Больцмана,
Т – абсолютная температура,
ρₖ – плотность кластера, принятая равной плотности твердого тела.
Совместное решение выражений (9-12) приводит к уравнению пятой степени относительно D. Расчетами, выполненными численным методом для воды, получены три вещественных корня – D1, D2 и D3 (табл.2).
Таблица 2. Рассчитанные параметры кластеров воды при разных температурах
Очевидно, что корни D1 и D3 не соответствуют по физическому смыслу принятой модели, поэтому за размер кластеров следует принимать величины D2, откуда средние значения λ определяются в интервале (0,27…0,86) х10-10, что меньше размера молекул. Это свидетельствует о том, что кластеры нельзя считать устойчивыми группами молекул, а скорее временными (мгновенными) комплексами, способными воспринимать и передавать импульс, как единое целое. При определенных (высоких) скоростях сдвига это свойство нарушается и возникает явление турбулентности.
Заключение
Предложенная кластерная модель жидкости хорошо объясняет закономерности, в которых участвует вязкость жидкости. В пользу кластерной модели говорит и то, что она легко приводит к известным формулам Максвелла и Стокса.
Дальнейшее развитие кластерной модели строения жидкости может облегчить понимание процессов испарения, кипения и сжатия, а также поверхностного натяжения и смачивания.
Литература
- Матвеев А.Н. Молекулярная физика. – М., Высшая школа, 1987, 360 с.
- Ребров А.К. Кластеры и конденсация в расширяющемся потоке// Молекулярная газовая динамика. – Новосибирск, 1980, с.58-69
- Сутугин А.Г., Загайнов В.А. Свойства молекулярных кластеров// Молекулярная газовая динамика. – Новосибирск, 1980, с.100-106.
Количество просмотров публикации: -