МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ «ЗАТРАТЫ – ВЫПУСК» НА ОСНОВЕ ЗАКОНА УБЫВАЮЩЕЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ

Матюхин Валерий Всеволодович

Камчатский государственный технический университет

Канд. физ-мат. наук, доцент

Аннотация

Исходя из закона убывающей производительности для экономического субъекта строится однофакторная математическая модель производственной функции, т. е. функции «затраты-выпуск», которая имеет вид функции распределения. Показано, что любой микроэкономический субъект (фирма) в рамках этой модели характеризуется одним главным, определяющим безразмерным показателем – «индексом жизнеспособности», который позволяет сравнивать между собой совершенно различные фирмы – различные как по величине, так и по виду их деятельности. Для производственной функции в виде распределения Рэлея рассматривается пример, иллюстрирующий применения этой модели.

Abstract

Proceeding from the law of decreasing productivity for an economic subject the mathematical model of production function is under construction. This function of “expense-release” is like a function of distribution. It is shown, that any microeconomic subject (firm) within the limits of this model is characterized by one main thing, a determining dimensionless parameter – «index of viability», which allows to compare absolutely various firms – various as on size, and by the form their activity. For production function in the form of Relay’s distribution the example illustrating uses of this model is given.

1. Введение. Деятельность любого экономического субъекта заключается в производстве некоторого товара или услуги в количестве Q единиц в единицу времени, и продаже этого товара (услуги) по определённой цене q (рублей за единицу), которая определяется рынком. Выпуск продукции невозможен без определённых затрат – вложений в производство. Затраты на производство (издержки) обозначим буквой J (рублей в единицу времени). 
Зависимость количества производимого товара Q (выпуск) от величины затрат на его производство J и представляет собой простейшую однофакторную математическую модель экономической деятельности фирмы – так называемую производственную функцию, или функцию «затраты-выпуск» [1-3].
В силу закона убывающей производительности зависимость эта, конечно, не может быть линейной. Закон этот гласит, что производительность данного предприятия (урожайность данного участка земли) не может расти беспредельно вместе с ростом вложений в производство. Естественно, что урожай, который можно собрать с земельного участка данной площади, даже при неограниченных материальных вложения и трудовых затратах, будет ограничен некоторой предельной величиной Q₀.
Таким образом, вложения в производство, направленные на повышение выпуска продукции, будут эффективны только до определённого предела. Дальнейшее увеличение вложений будет давать всё меньшую отдачу, которая в конце концов сойдёт к нулю. В этом суть закона убывающей производительности.
Выполняется он, конечно, для производств, характеризуемых основными неизменными факторами: постоянством производственных (земельных, торговых) площадей и неизменной производственной технологией. Если же делаются капитальные затраты, направленные на увеличение мощности фирмы, то в этом случае мы уже имеем дело с качественно другой фирмой, и закон убывающей производительности здесь неприменим.

Рис. 1 

2. Модель. Закон убывающей производительности требует, чтобы функция «затраты-выпуск» Q = Q(J) имела вид некоторой интегральной кривой распределения (рис. 1), которая выходит на насыщение – предельный объём выпуска. Это так называемая логистическая кривая [2].Производная от этой функции , представленная на рис. 2, является функцией предельной эффективности вложений. Она показывает рост выпуска продукции, связанный с каждым новым, вложенным в производство рублём. Видно, что с ростом вложений эффективность каждого вложенного рубля сначала растёт, потом достигает максимума и начинает уменьшаться.

Рис. 2

Приведём эти функции к безразмерным переменным, с которыми удобно работать:
 - относительные затраты (вложения);
 - относительный выпуск. В эти выражения входят два постоянных параметра, характеризующих фирму: 
Q₀ – предельно возможный выпуск продукции при неограниченных затратах;
J₀ – затраты, соответствующие максимуму эффективности вложений на рис. 2. Производственная функция в безразмерных переменных (рис. 1) есть:

а функция предельной эффективности (рис. 2) имеет вид:

;

Какие же затраты на производство следует считать оптимальными и на каком объёме выпуска следует остановиться? Для ответа на этот вопрос рассмотрим функцию прибыли П(руб/ед. времени), на которую ориентируются все фирмы, и которая соответствует выручке от реализованной продукции за вычетом затрат на её производство:

где q(руб/ед) – рыночная цена единицы продукции.

Прибыль является функцией объёма выпускаемой продукции Q либо функцией затрат J, которыми определяется выпуск. Прибыл тоже удобно представить в безразмерном виде:

,

или: . (2)
Здесь параметр  входит как безразмерная «цена» на продукцию данной фирмы. По своей сути j есть безразмерный эконометрический параметр, характеризующий степень устойчивости фирмы на рынке, который может быть назван индексом жизнеспособности фирмы. В силу своей безразмерности индекс этот позволяет сравнивать жизнестойкость и конкурентоспособность совершенно различных фирм – различных и по мощности (объёму товарооборота), и по виду выпускаемой продукции или виду экономической деятельности.
Проанализируем, какой вид должна иметь функция прибыли (2), когда производственная функция (1) имеет вид кривой распределения (рис. 1). Для определённости положим, что распределение это есть распределение Рэлея:

,

и зависимость выпуска y от затрат x определяется выражением:

. (3)

Выразим затраты x через объём выпуска y из (3), и представим прибыль P (2), как функцию относительного объёма выпуска y:

; (4)

здесь P задана в интервале её аргумента 0y1.

Рис. 3

Зависимость прибыли от объёма выпуска (4) для конкретной «цены» j = 2.5 приведена на рис. 3. Видно, что до определённого объёма выпуска прибыль отрицательна (убытки), потом становится нулевой при y = 0.415, и максимизируется при выпуске, равном 0.767 от предельно возможного.

Рыночная экономика оперирует понятиями «спрос» и «предложение». Кривой предложения называется зависимость объёма продукции, которая может быть выпущена и предложена на рынке, от её цены. Найдём эту зависимость из условия максимизации прибыли 

. (5)

Нулевой прибыли соответствует зависимость:

, (6)

которая является кривой средних издержек, приходящихся на единицу выпущенной продукции, т. е. k(y) есть относительная себестоимость. Функция предложения (5) и кривая себестоимости (6) приведены на рис. 4.

Рис. 4

Как видно из графиков, кривая предложения (сплошная линия) пересекает кривую средних издержек или нулевой прибыли (пунктир) в точке y = 0.72, т. е. прибыль для данной модели становится положительной только когда объём выпуска начинает превышать 72% от предельно возможного. При этом индекс жизнеспособности предприятия j должен быть больше 2.216. Если же производственный индекс j предприятия в силу, допустим, низкой рыночной цены q на продукцию, ниже 2.216, то такое предприятие конкурентоспособным уже не является и вытесняется с рынка (разоряется).

3. Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение нашей модели. 
Пусть имеется магазин, в котором работают два продавца. Месячный товарооборот его составил 5 млн. руб. В результате эконометрических измерений известно, что на данной торговой площади в данном месте невозможно сделать более 8 млн. оборота в месяц при любом количестве продавцов. Торговая наценка составляет 10% и увеличить её не позволят конкуренты. Прибыль в текущем месяце составила 250 тыс. руб. 
Перед владельцем магазина стоит вопрос: стоит ли пытаться увеличить оборот магазина, наняв ещё одного продавца и сделав другие вложения? И как это скажется на прибыли?
Будем искать решение в рамках нашей модели, считая, что функция «затраты-выпуск» магазина имеет вид распределения Рэлея.

Найдём экономический индекс магазина j, а зная его, получим оптимальные затраты J_opt и оптимальный оборот Q_opt, максимизирующий прибыль.
Для торговых предприятий роль рыночной цены q выполняет торговая наценка. Зная прибыль и торговый оборот в текущем месяце, найдём месячные затраты J₁:

Перейдём к безразмерным (относительным) единицам:
оборот – y₁ = 5/8 = 0.625; затраты – 1.4006. Отсюда получим значение параметра J₀ для магазина:

Экономический индекс жизнестойкости нашего магазина j = qQ₀/J₀ = 0.1*8 000 000/178 495 = 4.48 – очень высок, что характерно для торговых предприятий.
Найдя экономический индекс предприятия j, можно найти и оптимальный объём выпуска y_opt из (5), при котором прибыль становится максимальной:

 y_opt = 0.895;

Этому обороту соответствуют затраты: x_opt = = 2.123. Эти же величины в абсолютных единицах:

Прибыль в этом случае должна составить:

т. е. она возрастёт на 35%.
Таким образом, резервы для увеличения прибыли у магазина есть; стоит увеличить вложения, что должно привести к росту доходов.

4. Выводы. Анализ производственной функции «затраты-выпуск» на основе закона убывающей производительности приводит к открытию интересного параметра – экономического индекса j, характеризующего жизнестойкость и конкурентоспособность фирмы на рынке. Индекс этот определяется через два других параметра, оценка которых требует эконометрических измерений: это предельно возможный объём выпуска Q₀ и объём затрат J₀, соответствующих максимуму предельной эффективности: . 
В силу своей безразмерности индекс j позволяет сравнивать экономическую устойчивость совершенно различных микроэкономических субъектов – различных как по величине, так и по виду их экономической деятельности.

Литература:
1. Пиндайк Р., Рубенфельд Д. Микроэкономика. М., 1992.
2. Лопатников Л. И. Экономико – математический словарь. М., «Наука», 1993.
3. Клейнер Г. Б. Производственные функции. М., «ФиС», 1986.