При решении уравнений с суммой степенных функций вида:
zⁿ = xⁿ + yⁿ (1)
где z, x, y, n - целые числа и n > 1;
- возникает проблема нахождения совокупности цело численных аргументов z, x, y.
Аналитические доказательства этой проблемы, например, в работе [1], не является простым, наглядным и общепонятным. В частности, применение модульных овальных кривых для доказательства теоремы Ферма является методологической ошибкой, затрудняющей понимание удивительно простого способа ее доказательства, намек на который был сделан автором теоремы.
В противовес такому подходу требуется просто, наглядно и общепонятно показать условия возможности или невозможности существования решения уравнения (1).
Доказательство связано с понятием «пифагоровых чисел» – тройки чисел {y, x, z}, которые удовлетворяют уравнению:
z² = x² + y² (2)
где z, x, y - целые числа и n = 2.
Введем следующие условия:
z > x > y (3)
При этом исключается область симметричных решений, например, решение 5² = 4² + 3² симметрично 5² = 3² + 4².
Исключается так же случай равенства x = y. Очевидно, что при z² = 2x², имеется иррациональное решение z = x √2, которое при целых значениях переменной x исключает существование «пифагоровых чисел», полученных путем удвоения переменной x.
Очевидно, что z = x ⁿ√2 не противоречит теореме Ферма, так как такое решение явно иррационально. Это позволяет применить для теоремы Ферма условия (3): z> x> y.
Введем процедуру поэтапного определения «пифагоровых чисел». Для этого определим z c помощью целочисленной переменной ∆> 0:
z = x + ∆ (4)
При таком упрощении получаем:
(x + ∆) ² = x² + y² (5)
Из уравнения (5) следует формула для определения «пифагоровых чисел»:
у = √ (2x∆ +∆²) (6)
Для простого случая ∆ = 1. Далее возможно неограниченно большое целочисленное увеличение ∆. Тройка «пифагоровых чисел» {y, x, z} при таком упрощении превращается в двойку чисел {y, x}, которая связана с исходной тройкой соотношением:
{y, x, x + ∆} (7)
Справедливо соотношение:
k ⁿ zⁿ = (k z)ⁿ = kⁿ (xⁿ + yⁿ) = kⁿ xⁿ + kⁿ yⁿ = (k x)ⁿ + (k y)ⁿ (8)
где k – любая целочисленная переменная, k> 0.
Оно позволяет определять «пифагоровы числа» кратные k: например,
5² = 4² + 3² (k = 1) и 15² = 12² + 9² (k = 3).
При таком подходе условие (3) для области симметричных решений становится возможным для различных ∆: например, 15² = 9² + 12² (∆ = 3) и 15² = 12² + 9² (∆ =6).
При ∆ = 1 из формулы (6) получаем решение уравнения (2):
у = √ (2x +1) (9)
При известном у это позволит определить пару {x, y} по формуле:
x = (y² – 1) / 2 (10)
В общем случае:
x = (y² – ∆²) / (2∆) (11)
Рассмотрим соотношение четности y, x, z при ∆ = 1 или при любом нечетном ∆ (приложение 1) на основании таблиц истинности (1 – 4). Истинность или ложность логического высказывания в таблице 1 определяется на основании логической функции отрицания эквивалентности чисел х и у для нечетных ∆. Таблицы 1 и 3 включают полный набор сочетаний чисел х и у по четности. Для строк с истинными значениями таблицы 1 в таблице 2 производится отбор по истинности эквивалентности четности аргументов в формуле (1) и четности их суммы.
Аналогично, истинность или ложность логического высказывания в таблице 3 определяется на основании логической функции эквивалентности чисел х и y для четных ∆. Для строк с истинными значениями таблицы 3 в таблице 4 производится отбор по истинности эквивалентности четности аргументов в формуле (1) и четности их суммы.
Вывод из приложения 1 показывает, что для нечетных ∆ при любом х, у может быть только нечетным числом.
Из формулы (10) получается, что в этом случае х может быть только четным числом:
x = ((2N +1)² – 1) / 2 = ((4N² + 4N +1) – 1) / 2 = 4(N² + N) / 2 = 2 (N² + N)
где N – любое натуральное число.
Аналогично, что для четных значений ∆ у может быть только четным числом. В этом случае, х может быть и четным числом, и нечетным числом.
Для любого нечетного числа y > 1 существует соответствующая тройка «пифагоровых чисел» {y, x, z}. Например, {3, 4, 5}. Нетрудно рассчитать все остальные «пифагоровы числа» (приложение 2).
Можно наглядно убедиться, что все нечетные y в системе заданных условий (∆ =1) имеют соответствующие «пифагоровы числа». Остальные y вычисляются с помощью формулы (11).
Взаимосвязь формул (9), (10) и (11) позволяет найти решения для любого ∆. Тогда уравнение (2) решается для всей совокупности «пифагоровых чисел».
Рассмотрим связь «пифагоровых чисел» и чисел степенных функций для n > 2, соответствующих теореме Ферма.
Определим, что формула (1) получается из уравнения (2) для «пифагоровых чисел» последовательным умножением каждой переменной в этом уравнении на саму себя. Например, z³ = x³ + y³ => z²z = x²x + y²y.
Если для преобразования используется тройка «пифагоровых чисел» {y, x, z}, то оно справедливо, если y = x = z. Это противоречит принятым условиям (3): z > x > y. Следовательно, вывод 0: для всех y, x, z, принадлежащих множеству «пифагоровых чисел» теорема Ферма справедлива.
Основная догадка, в отличие от работы [1], состоит в том, что для доказательства теоремы Ферма следует использовать известное свойство степенных функций: постоянство приращения степенной функции, соответствующее производной n – степени. Это свойство аналогично тому, что производная n – степени функции f(x) = xⁿ будет константой равно n!. Её суть в нижеследующем.
Обозначим приращение степенной функции f(x) = xⁿ при равномерном приращении аргумента на целую величину δ, отличную от нуля, приращением 1-степени:
δ¹(x) = f(x + δ) – f(x) (12)
Определение приращения следующей степени получается аналогично. Приращение степени n получается как разница приращения степеней, которые на единицу меньше:
δ ⁿ (х) = δ ⁿ ‾ ¹ (x + nδ) – δ ⁿ ‾ ¹ (x) (13)
Приращения n – степени для любого n для любой степенной функции f(x) = xⁿ будут постоянными. Их можно определить по формуле:
δ ⁿ (х) = n! δ ⁿ (14)
Вывод 1. Все аргументы x степенных функций произвольной степени n можно разделить на два множества: множество целых аргументов {N} и множество аргументов с дробной частью (дробных аргументов) {D}.
Множество {D} есть множество всех положительных вещественных чисел за исключением все натуральных чисел множества {N}. Множество всех приращений {δⁿ‾¹(х)}, начиная с приращений степени 1 и заканчивая приращениями степени (n–1), относится к этим множествам соответственно, то есть являются или целыми множествами, или дробными. Все элементы множества приращений n – степени δⁿ(х) является целыми константами и определяется по формуле (14).
Таким образом, если аргумент степенной функции является дробным, то множество всех приращений {δⁿ‾¹(х)} следует считать дробным. Если аргумент целый, то множество всех приращений {δⁿ‾¹(х)} следует считать целым.
В качестве демонстрации этих положений приведем три таблицы значений функций приращения для F(x) со степенью n = 4 для целых и дробных х = 1, х = 1.1 и х = ⁿ√2 с изменением аргумента δ на единицу (приложение 3). Выбор последнего аргумента в виде корня 4- степени из числа два предназначен для нахождения такого его значения, при котором степенная функция при дробном аргументе имела бы значение, равное целому. Подобрать такой аргумент точно численным путем не удается по причине того, что он будет иррациональным. В то же время, множество приращений {δⁿ‾¹(х)}, в данном случае, не перестает принадлежать множеству дробных приращений.
Представим теорему Ферма в графическом виде (рис. 1). На этом графике представлена степенная функция n – степени F(z|x|y) = zⁿ | xⁿ | yⁿ для любого из аргументов z, x, y. Выражение (z|x|y) следует читать как: «или z, или x, или y». Из графика на рис. 1 следует, что упрощение по формуле (4) позволяет сформулировать графическое решение теоремы Ферма в следующем виде:
значение функции F(z|x|y) = zⁿ | xⁿ | yⁿ в точке y должно равняться приращению функции δ¹(x) в точке x.
Процедуру определения «пифагоровых чисел» можно применить для решения уравнения (1). Графическое изображение такого решения назовем линией решений. Исследование линии решений с целью нахождения целочисленных решений (х, у) дает нам возможность доказать или опровергнуть теорему Ферма. Схему такого решения можно представить на графике (рис. 2).
На этом графике линия решений находится в плоскости (х,у). В трехмерном пространстве (х,у,F(x|y)) для аргументов x|y можно определить поверхность гиперболоида вращения (r,R). При этом R = x|y, r=(x|y)ⁿ. Линия решений для квадратичной функции будет соответствовать уравнениям по формулам (9) или (10). Нахождение на основании этого графика «пифагоровых чисел» состоит в нахождении точки {х,у} на линии решений. В этой точке на поверхности параболоида вращения определяются значения степенной функции F(z|x|y) = (z|x|y)ⁿ. Определение z происходит по формуле (4).
Отличия графика для произвольной степени n от схемы нахождения «пифагоровых чисел» будут соответствовать изменениям формул (6) и (9) для соответствующей степени n. Например, для степени n = 3, линия решения будет иметь соответствующую модификацию формул (6) и (9):
у = ³√ (3x²∆ + 3x∆² +∆³); y = ³√ (3x² + 3x +1).
Для «пифагоровых чисел» нахождение приращения первой степени δ¹ (x) идентично формуле:
δ¹ (x) = z² - x² (15)
Это выражение эквивалентно следующему:
y² = z² – x² (16)
- из которого следует прямая связь между приращениями степенной функции и формулами (6) и (9) определения зависимость между элементами множества {y, x}. Например, для формул (17) и (18):
δ¹ (x) = zⁿ - xⁿ (17)
yⁿ = zⁿ - xⁿ (18)
Используя формулу бинома Ньютона нетрудно получить формулы:
yⁿ = δ¹ (x) = (x + ∆)ⁿ – xⁿ = ∑ Cⁿ x ⁿ ‾ i ∆ i – xⁿ (19)
i
где i – степень, равная номеру слагаемого в формуле бинома Ньютона для i от 0 до n.
Коэффициенты Cⁿ являются известными биномиальными коэффициентами треугольника Паскаля, а степени x и ∆ для соответствующих слагаемых изменяются противоположно, взаимно дополняют друг друга до числа n.
На графике (x, y) (рис. 3) линия решений уравнения (2) для каждого ∆ при x = 0 начинается со значения ∆. Для случая ∆ = 1 все линии решения будут начинаться с точки (0, 1). При изменении ∆ линии решения будут начинаться с точки (0, ∆). Пересечение данной линии с ординатой y, равной целому значению, дает абсциссу x, как решение уравнения (2).
Появление дополнительных «пифагоровых чисел» при ∆ > 1 (например: {8, 15, 17}), которые не могут быть разделены на k с получением целочисленного результата (в данном случае, k = 2), связано с обязательным требованием целочисленности элементов кортежа {y, x, z}. Тем не менее, это обстоятельство не исключает утверждения о том, что при делении данных аргументов на k = 2 исключается их соответствие уравнению (2). То есть: 4² + 7.5² (56.25) = 8.5² (72.25).
Появление таких «псевдо пифагоровых чисел» на линии решения уравнения (2) при ∆ = 1 определяет возможность проекции на эту линию других «пифагоровых чисел» со значениями ∆ > 1.
Например, несколько следующих подобных точек на линиях решения при линейном преобразовании имеют соответствующие «псевдо пифагоровы числа», например: при ∆ = 3
(4*3)² + (7.5*3)² = (8.5*3)² или 12² + 22.5² (506.25) = 25.5² (650.25).
Подбор соответствующего k позволяет получить из кортежа {y, x, z} «псевдо пифагоровых чисел» соответствующий кортеж «пифагоровых чисел» {y*k, x*k, z*k}, например, при k = 4 получаем новое «пифагорово число»:
(4*4)² + (7.5*4)² = (8.5*4)² или 16² + 30² (900) = 34² (1156).
Любая новая «пифагорова точка» (у, х) на линии решения при ∆ > 1 порождает «псевдо пифагорову точку» на линии решений с ∆ = 1. Например, при ∆ = 2 все «пифагоровы точки» имеют все четные у. Если в данном случае число х будет нечетным, (например, первая такая точка из кортежа {8, 15, 17}), при делении на ∆ = 2 не будет с целым четным числом х, соответствующим числу у при ∆ = 1. Такая ситуация определяет критерий и взаимосвязь наличия новой точки с «пифагоровым числом» на линиях решения с ∆ > 1. Взаимосвязь состоит в том, что любая новая точка с «пифагоровым числом» на линиях решения с ∆ > 1 может быть отражена на линии решения с ∆ = 1. При этом не требуется их обязательного целочисленного значения.
Совокупность «пифагоровых чисел» и «псевдо пифагоровых чисел» на линии решения с ∆ = 1 позволяет представить всю область существования «пифагоровых чисел» в виде линейного преобразования по формуле (8).
Приведем пример такого линейного преобразования на основе произвольного нового «пифагорова числа» с ∆ = 8 {36, 77, 85}. При ∆ = 1 соответствующие «псевдо пифагоровы числа», полученные линейным преобразованием элементов кортежа {у/k, х/k, z/k} (k = 1), будет иметь значения {4.5, 9.625, 10.625}. Значения этих чисел соответствую уравнению (2): 4.5² + 9.625² = 10.625².
Каждая точка (у, х) линии решений при ∆ = 1 порождает новую «пифагорову точку» (у*k, х*k), если произведения у*k и х*k будут целыми числами. Естественно предположить, что каждое из чисел у или х, содержащих дробную часть, может быть превращено в целое число, если они содержат дробную часть, кратную любому ∆ > 1. Если такая дробная часть является иррациональной, то никакая целая k не сможет преобразовать его в целое число, так как целочисленное умножение иррациональных чисел не приводит результат к целочисленным значениям.
Поскольку линия решения для уравнения (2) является непрерывной, постольку все ее рациональные точки (у, х) принадлежат сумме множеств или «пифагоровых чисел», или «псевдо пифагоровых чисел». Оставшиеся иррациональные точки (у, х) удовлетворяют теореме Ферма, так как из них невозможно получить соответствующие целочисленные значения.
Согласно выводу 0 на стр. 3 «пифагоровы числа» и, соответственно, «псевдо пифагоровы числа» удовлетворяют теореме Ферма. На линии решений (у, х) при ∆ = 1 не остается точек, которые не соответствуют теореме Ферма. Для случая линии решений с ∆ = 1 можно считать теорему Ферма доказанной для любого n.
Сопоставив линию решения с закономерностями приращений степенных функций и выводом 1, получаем вывод 2.
Вывод 2. Линия решений имеет или все целочисленные решения уравнения (1) или не имеет ни одного.
Таким образом, для доказательства справедливости теоремы Ферма не обязательно анализировать или вычислять все точки линии решений. Достаточно определить для периодического изменения целочисленного параметра y: является ли любая точка x линии решений целочисленной или нет. Естественно взять наиболее простую точку, близкую к началу линии решений. Далее следует определить принадлежность этой точки к множествам {N} или {D} (вывод 1) и распространить вывод о наличии или отсутствия целочисленного решения на все остальные точки линии решений.
Для получения доказательства теоремы Ферма для любого n и ∆ используем ее доказательство для частного случая, когда ∆ = 1.
Приведем изменение графика степенных функций при увеличении n от n =2 до n = 3 и далее в относительных координатах (x/x′, y/y′), где х, y – абсцисса и ордината функции степени n, а x′, y′ – «пифагоровы числа» (рис. 4). Точку на графике (1,1) назовем «единичной точкой». Из графика следует, что приращения δⁿ(х) слева от «единичной точки» при повышении степени n будут меньше, а справа больше. В то же время равенство таких приращений является строгим условием нахождения решений уравнения (1). Выбор целочисленного значения y предполагает возможность выбора значения x, которое больше значения y на единицу. В самом простом случае x будет принадлежать самому малому набору «пифагоровых чисел» {3, 4, 5}. Переход линии решений через целочисленную ординату y возможен только для «пифагоровых чисел» с целочисленной абсциссой x, в остальных случаях абсцисса x будет дробным числом (рис. 5). В то же время и графика (рис. 4) следует, что относительно произвольно выбранного «пифагорова числа» при увеличении n для нахождения текущих координат (х, у) при фиксации одной из координат: х – можно только уменьшить, а у – только увеличить; – чтобы попытаться найти решение уравнения (1). Если это сделать невозможно, то очевиден вывод о невозможности нахождения решения при такой попытке и, следовательно, вывод о справедливости теоремы Ферма.
Вывод 3. Для любого n при ∆ = 1 при y = 3 абсцисса x линии решений находится в диапазоне чисел со значениями в диапазоне 2 < х < 3 и, таким образом, является дробным числом. Согласно выводу 2 линия решений в данном случае не имеет целочисленных решений, что доказывает теорему Ферма для данного случая.
В качестве контрольной точки для любого n > 2 следует взять точку c координатами (x = 2n, у = х – 1). Используя формулу (19) определим в этой точке следующую разность: zⁿ – xⁿ – yⁿ = (x + 1)ⁿ - хⁿ – (х – 1)ⁿ, которая должна равняться нулю, если существует решение (1). В то же время эта разность будет всегда отлична от нуля и всегда будет положительна. В этой точке существует единственная возможность решения уравнения (1). Но именно в этой точке такое решение отсутствует. Исходя из единственно возможной благоприятной комбинации чисел (x = 2n, у = х – 1) для решения уравнения (1) с учетом формулы (19), именно в этой точке исчезает последняя возможность найти решение этого уравнения. Поясним это на графике (рис. 6) на линиях решений при n > 2 и ∆ > 1.
Точка, которая определяет начало области существования элементов кортежа {y, x, z} с выполнением условия по формуле (3), имеет значение х = у = 1 + √2. В то же время расчеты, приложенные к графику (рис. 6), показывают, что начиная с точки (3,4) для n > 2 и ∆ = 1 не существует линий решения, для которых выполняется условие (х-1) > у. Отсутствие таких точек с целочисленными решениями подтверждает общую справедливость теоремы Ферма.
На графике (рис. 6) и в соответствующей ему таблице, видно, что при
∆ = 1 с увеличением n значение у на линии решений все больше превышает (х-1) и асимптотически стремится к значению х. Отсутствие значений у < х для любых n > 2 подтверждает вывод об отсутствии решений уравнения (1) для данного случая.
Предыдущую процедуру можно повторить и проиллюстрировать для любого целого ∆. Ранее отмечалось, что линия решений при этом будет иметь при нулевой абсциссе ординату, равную ∆. Фиксируя ближайшую к значению ∆ целочисленную ординату y можно проанализировать значения абсциссы x на линии решений. Так же, как и для вывода 3, эта ордината не будет целочисленной. Из принципа взаимно однозначного соответствия на основании формулы (8) между наличием решения при ∆ = 1 и при любом ∆ сделаем вывод о том, что если решение существует для ∆ = 1, то оно существует и для любого ∆.
Справедлив и обратный вывод: если отсутствует решение для ∆ = 1 (в данном случае, уже учитывая наличие «псевдо пифагоровых чисел»), то оно отсутствует и для любого ∆.
Следовательно, отсутствует возможность определения совместного целочисленного значения у и x, как элемента кортежа {y, x, z} для n > 2.Из этого следует, что отсутствует возможность определения такого набора чисел {y, x, z}, которые бы опровергали теорему Ферма. Это подтверждает ее справедливость. Таким образом, теорема Ферма доказана удивительно простым способом.
Вывод 4. Теорема Ферма доказана.
Литература:
- A.Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 142 (1995), 443-551.
Приложения:
- Анализ четности формулы (1) с таблицами 1 и 2.
- Пифагоровы числа.
- Приращения для степени 4 и различных начальных х (3 таблицы).
- Таблицы для графика рисунка 6.
Графики:
Рис. 1. Графическое представление теоремы Ферма.
Рис. 2. Схема нахождения решения для формулы (1) на основании линии решения.
Рис. 3. Изменение графика линии решений при изменении ∆.
Рис. 4. График изменения произвольной степенной функции в относительных координатах.
Рис. 5. График линии решений при ∆ = 1 для произвольного n.
Рис. 6. График, демонстрирующий невозможность нахождения решения уравнения (1) для любого n > 2.
Приложение 1. Анализ четности формулы (1)
Обозначим Ч – четные числа и Н – нечетные числа.
В таблице 1 отберем из всех возможных сочетаний чисел y, x, z те, которые допустимы из соотношения отрицания эквивалентности чисел x и z по четности для нечетных ∆:
Таблица 1
|
№ строки |
у |
х |
z |
НЕ (х <=> z) |
|
1 |
Н |
Н |
Н |
нет |
|
2 |
Н |
Н |
Ч |
да |
|
3 |
Н |
Ч |
Н |
да |
|
4 |
Н |
Ч |
Ч |
нет |
|
5 |
Ч |
Н |
Н |
нет |
|
6 |
Ч |
Н |
Ч |
да |
|
7 |
Ч |
Ч |
Н |
да |
|
8 |
Ч |
Ч |
Ч |
нет |
Отобрав по принципу истинности строки для анализа четности аргументов и четности соответствующей суммы, получим таблицу 2.
Таблица 2
|
№ строки |
у |
х |
Z |
(у + x) <=> z |
|
2 |
Н |
Н |
Ч |
да |
|
3 |
Н |
Ч |
Н |
да |
|
6 |
Ч |
Н |
Ч |
нет |
|
7 |
Ч |
Ч |
Н |
нет |
Вывод: при нечетном ∆ в формуле (1) y может быть только нечетным числом.
Аналогично, в таблице 3 отберем из всех возможных сочетаний чисел y, x, z те, которые допустимы из соотношения эквивалентности чисел x и z по четности для четных ∆:
Таблица 3
|
№ строки |
у |
х |
z |
(х <=> z) |
|
1 |
Н |
Н |
Н |
да |
|
2 |
Н |
Н |
Ч |
нет |
|
3 |
Н |
Ч |
Н |
нет |
|
4 |
Н |
Ч |
Ч |
да |
|
5 |
Ч |
Н |
Н |
да |
|
6 |
Ч |
Н |
Ч |
нет |
|
7 |
Ч |
Ч |
Н |
нет |
|
8 |
Ч |
Ч |
Ч |
да |
Отобрав по принципу истинности строки для анализа четности аргументов и четности соответствующей суммы, получим таблицу 4.
Таблица 4
|
№ строки |
у |
х |
Z |
(у + x) <=> z |
|
1 |
Н |
Н |
Н |
нет |
|
4 |
Н |
Ч |
Ч |
нет |
|
5 |
Ч |
Н |
Н |
да |
|
8 |
Ч |
Ч |
Ч |
да |
Вывод: при четном ∆ в формуле (1) y может быть только четным числом.
Эти два вывода позволяют утверждать: при любом ∆ по четности для очередных по порядку пифагоровых чисел интервал между очередными значениями y будет не меньше двух.
Приложение 1 (анализ четности)
Приложение 2 (пифагоровы числа) 01
Приложение 3 (разница приращений) 01