Главный специалист

АННОТАЦИЯ
В статье представлен расчет параметров орбит планет солнечной системы в модели, где источниками гравитационных сил являются звезды. Получено уравнение результирующих векторов сил Солнца и звезд вселенной, определяющее равновесное положение планет солнечной системы на орбите. Показана производная этого уравнения, определяющая зависимость радиуса планет и их плотности. Результаты расчета сравнены со справочными характеристиками планет. Вычислена константа гравитационного излучения, граница солнечной системы.

Gravitational equilibrium of the planets

Krutovertsev Igor Titovich

Center for Operation of Space Ground-Based Infrastructure

Lord high fixer

Abstract

The article presents the calculation of the parameters of the orbits of the planets of the solar system in the model where the sources of gravitational forces are the stars. The equation of the resultant force vectors of the Sun and stars of the universe that determines the equilibrium position of the planets in the solar system in orbit. Shown is the derivative of this equation, which determines the dependence of the radius of the planets and their density. The calculation results are compared with the background characteristics of the planets. The calculated constant gravitational radiation, the boundary of the solar system.
ВВЕДЕНИЕ
Все существующие на сегодняшний день модели гравитации [ 1-3 ] не дают ясного представления о природе и источнике гравитационных сил. Наиболее отчетливо обсуждаются волновая и гравитонная версии гравитации. В данном расчете применен постулат, в котором источником гравитации могут являться звезды вселенной, а вселенная изотропна и бесконечна. Звезды излучают некие вектора силы, структура которых в данной статье не рассматривается. Попробуем рассмотреть, на примере планет солнечной системы, их физических характеристик, параметров орбит, данное утверждение и сравнить их с расчетными данными.

  Рассмотрим данную схему на примере солнечной системы с Солнцем, как источником векторов силы и остальных звезд вселенной. Принимаем, что от звезд на любое небесное тело по всем трем координатам действуют однородные вектора силы с одинаковым давлением Δf Н/км², а Солнце излучает энергию силой Q Ньютон, равномерно направленную по векторам от его центра. Тогда для пары планета – Солнце на планету солнечной системы действуют два результирующих вектора силы (f- от звезд и Р – от Солнца), направленных навстречу друг другу по оси двух небесных тел с равновесием f=Р в некоей точке на данной оси. Определим уравнение для такого равновесия. Расчет f и Р проводим раздельно. Все расчеты выполнены в среде Mathcad 14.

РАСЧЕТ ВЛИЯНИЯ КОСМОСА 
Схема влияния на планету звезд кроме Солнца и образования вектора силы f представлена на Рис. 1. 

Рис.1 Схема образования результирующего вектора f

Результирующий вектор силы f, исходящий от звезд, образуемый за счет экранирования планеты Солнцем, суммируется внутри телесного угла с вершиной в точке А (центр планеты) и его диаметром основания D₁F₁, что эквивалентно симметричному телесному углу с диаметром основания DF с той же вершиной A, который будет использован для расчета.
Интеграл результирующего вектора силы вычислим методом замены переменной. В общем виде интеграл суммарного вектора силы от звезд по телесному углу с заменой переменной равен

 (1)

Где 2πEDx - окружность, по которой интегрируются проекции вектора силы под углом α на ось АН. Радиус  меняется от 0 до ED при изменении угла α от нуля до максимума;  - давление векторов силы космического поля, которое принимается как константа;
, где текущее значение ADx меняется от АЕ до AD (радиуса планеты). 
Из подобия треугольников ADE и AB₁H получаем

 (2)

где L=АН – расстояние от центра Солнца до центра планеты; 
Rp= AD - радиус планеты;

Rs= B₁H- радиус Солнца.
Из Рис.1 имеем . При выражении правой части уравнения через характеристики небесных тел получаем

 (3)

В данном расчете АЕ = const.
Для удобства интегрирования обозначаем переменную EDx как х и, учитывая, что из Рис.1 следует  , получаем выражение  . После подстановки

значения  и EDx как x в уравнение 1 результирующий интеграл вектора силы по полному телесному углу от звезд приобретает вид , а его решение

 (4)

Рис.2 Схема образования результирующего вектора Р

На Рис.2 представлена схема, по которой рассчитывался результирующий вектор силы Р, действующий на планету от Солнца. В данном случае при интегрировании также использовался способ замены переменной при вычислении по телесному углу.

Для вычисления результирующего вектора силы, действующего от Солнца на планету по оси АН, просуммируем вектора внутри телесных углов, определяемых переменным радиусом x , ограниченных окружностью, проходящей через точки С и В, имеющих вершину в точке Н (центр Солнца).
Поскольку мы приняли, что общее излучение солнца равняется Q ,то давление излучения вектора силы солнца на расстоянии будет равно , которое принимаем постоянным для данного вычисления при допущении, что L >> Rp. Проекция векторов силы Солнца на ось АН определяется величиной , который равняется  , где x меняется от 0 до Rp. Тогда вектор результирующей силы от солнца на планету с радиусом Rp на расстоянии L вычисляется интегралом

 (5),

а его решение равняется

 (6)

Окончательно итоговая формула равновесия f=P приобретает вид

 (7)

Для упрощения дальнейших вычислений делаем допущение, что , а . Тогда уравнение равновесия приобретает вид

 (8)

Теперь вычислим коэффициент Δf по упрощенному уравнению 8, используя пару Земля –Луна, как небесных тел, не имеющих собственного излучения, подставляя в уравнение известные параметры. В этом случае второй член уравнения 8 исключается, поскольку источника излучения силы Луна не имеет. Величину результирующей силы в данном случае приравниваем к силе взаимного тяготения Земля-Луна согласно закону всемирного тяготения Ньютона. Уравнение равновесия принимает вид

 (9)

Сила притяжения Земля-Луна, определенная по формуле  равна 1.98х10²⁰Н, а остальные члены выражения
G= 6.672 х 10^-11 м³/кг с² (гравитационная постоянная).
Mz = 5.9742 х 10²⁴ кг (масса Земли), 
Мm = 7.353 х 10²² кг (масса Луны),
Lzm = 384400 х 10³ м (расстояние Земля – Луна),
Rz=6378.0 x10³м (радиус Земли),
Rm=1738.0 x 10³ м (радиус Луны ),
Данные взяты из [4]. 
Решение уравнения 9 даёт ответ Δf= 3.8126858689715839228 х10¹⁰ Н/м² или 3.8126858689715839228 х 10¹⁶ Н/км², что в дальнейшем пригодиться для расчета.Зная величину Δf ,определяем Q из основного упрощенного уравнения 8 для пары Земля – Солнце, подставляя соответствующие параметры в уравнение

 (10)

где Rs= 696000 км (Радиус Солнца),
Lzs= 1.496 x 10⁸ км (расстояние Солнце-Земля),
Rz =6.378×10³ км (радиус Земли),

Подставляя эти значения в уравнение 10 для системы Солнце-Земля, получаем значение Q=4.6418314158122944903 x10 ²⁹ Н. Аналогичный расчет, выполненный для остальных планет солнечной системы, дает тот же результат. Результаты расчета приведены в Таблице 1.

Таблица 1 Результат расчета коэффициента Q по параметрам планет

Сравним истинные параметры планет с расчетным уравнением. Для этого преобразуем уравнение 8 для определения радиуса планеты, что дает выражение

 (11)

График уравнения 11 с определенными коэффициентами Δf , Q и истинными параметрами планет представлен на Рис.3.

Рис.3 Зависимость радиуса планеты от ее расстояния от Солнца
и фактические характеристики планет

1-Меркурий, 2-Венера,3-Земля,4- Марс, 5- Юпитер, 6- Сатурн, 
7- Уран, 8- Нептун, 9- Плутон

  Отметим, что шесть ближних к солнцу планет иллюстрируют неплохую сходимость с расчетным графиком. Дальние планеты имеют тенденцию отклонения от расчета. Вероятно, последнее связано с тем, что уравнение 8 следует модифицировать с включением в него плотности планет, поскольку эта величина для дальних планет заметно отличается.
После вычисления коэффициентов Δf и Q по формуле 10 можно определить границу солнечной системы, то есть расстояние, на котором влияние Солнца равна нулю. График этого влияния относительно Земли представлен на Рис. 4 . Исходя из этого расчета, граница солнечной системы имеет радиус порядка 10¹⁴ км.

Рис.4 Расчетные зависимости расстояния от Солнца и результирующей силы Солнце – космос на планеты солнечной системы
1-Меркурий, 2- Земля , 3- Юпитер

   Рассмотрим уравнение 9 , в котором для правой части используется формула ньютоновского взаимного тяготения, с выражением массы через объем и плотность. Приняв, что радиусы и плотности небесных тел в данном случае равны, получаем уравнение

 (12)

где d – плотность планеты, Rp – радиус планеты.
Из этого уравнения получаем зависимость плотности

 (13)

График уравнения 13 представлено на Рис.5 . На нем также указаны данные планет солнечной системы из справочной публикации [4].

Рис.5 Расчетная зависимость плотности планеты от ее радиуса и истинные параметры планет.

1- Плутон, 2- Меркурий, 3- Марс, 4- Венера, 5- Земля, 6- Уран, 7- Нептун, 8- Сатурн, 9- Юпитер.

  Как видно из Рис.5, параметры небесных тел близки к расчетной функции. Для большей точности, по-видимому, необходимо учитывать в расчете неоднородность плотности планет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для модели, где источником гравитационных сил являются звезды, получено уравнение 8, определяющее равновесный радиус траектории планет в солнечной системе. Сравнение расчетной кривой и истинных параметров планет находит подтверждение для ближних к Солнцу планет. Из расчета определена константа , определяющая плотность силового потока во вселенной, а также величина силового излучения Солнца. Определена примерная граница солнечной системы радиусом 10¹⁴ км. При использовании ньютоновского закона всемирного тяготения получено уравнение зависимости радиуса небесного тела и его плотности.

Библиографический список
1. Мизнер Ч., Торн К, Уилер Дж., Гравитация, М., Мир, 1977
2. Иваненко Д.И., Сарданашвили Г.А. , Гравитация, Киев, Наукова думка, 1985
3. Зельдович Я.Б., Грищук Л.П., Тяготение, общая теория относительности и альтернативные теории, ж-л Успехи физических наук, том 149, вып.1, 1986 г.
4. Бережной А.А., Бусарев В.В., Ксанфомалити Л.В., Сурдин В.Г., Холшевников К.В., Солнечная система ,М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.

ФГУП “Центр эксплуатации объектов наземной космической инфраструктуры»

Главный специалист

titich@list.ru

Аннотация

В статье представлен расчет эффективных параметров небесных тел с использованием относительного коэффициента неоднородности их плотности. Эффективные параметры обозначены как произведение исходного параметра и коэффициента относительного градиента плотности. За основу взят градиент плотности Земли. Выявлена четкая зависимость эффективного радиуса и эффективной плотности рассмотренных небесных тел.

Regularity of the density gradient of the heavenly bodies and their parameters

Krutovertsev Igor Titovich

Center for Operation of Space Ground-Based Infrastructure

Main expert

Abstract

The article presents the calculation of the effective parameters of celestial bodies using the relative coefficient of inhomogeneity of their density. Effective parameters are marked as a product of the original parameter on the coefficient of relative density gradient. Based on the density gradient of the Earth. Revealed a clear dependence of the effective radius and effective density of the considered celestial bodies.

В статье [1] была представлена модель гравитации как результат излучения звезд.

Для этой модели получена зависимость плотности планеты ρ от ее радиуса Rp соответствующая , которая представлена на Рис.1.

На графике наблюдается отклонение плотности планет от расчетной характеристики.

В результате анализа полученных результатов было предположено, что на разброс этого параметра влияет дополнительный фактор, каким может быть неоднородность плотности планет.

Отмеченные флуктуации плотностей планет попробуем учесть с применением известной формулы, которая использует градиент массы для звезд [ 3 ]

где Mr- масса звезды, ρ – плотность звезды, r – радиус звезды.

Для расчетов используем выражение ρr² из данного уравнения, как коэффициент k неоднородности плотности небесного тела k= ρr². Так же используем в расчетах сравнительный коэффициент

В числителе обозначено произведение параметров небесного тела. Для Земли K=1.

Эффективные параметры небесных тел (ρ и r) определялись умножением их табличных данных на коэффициент K. Результаты расчетов для планет солнечной системы представлены в таблице 1. Там же приведены расчеты для звезд по параметрам, взятым из [4]. Во всех случаях за главную величину взята неоднородность плотности Земли.

Таблица 1

График эффективных ρ и r для планет и звезд в логарифмических координатах представлен на Рис. 2.

Как видно из графика откорректированные данные для всех небесных тел идеально ложатся на расчетную функцию ρ _эфф. = 10 ^-2.0 log(rэфф.^)+17.359 , представленную там же на графике.

Полученный результат дает основание для уточнения расчета зависимости радиуса орбит планет от их собственных радиусов. Сходимость параметров небесных тел с расчетной функцией в диапазоне от планет до звезд заставляет рассмотреть сегмент функции в области меньших размеров естественных тел.

Литература

1. Крутоверцев И.Т. Гравитационное равновесие планет, Портал научно-практических публикаций, https://portalnp.snauka.ru/ 29.00.00 Физика, 08.04.2015
2. Куликовский П.Г., Справочник любителя астрономии, М., Эдиториал УРСС, 2002, 688 с.
3. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. 3-е изд., М., Наука, 1985, стр. 454
4. Полак И.Ф. Курс общей астрономии, Москва-Ленинград, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951г., с.375